suma

  • La suma o adición es la operación matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es la forma más básica de contar.
  • En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.
  • En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores.....

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.
Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c
Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
Elemento opuesto: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. Este número -a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
Propiedad distributiva:La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.Y se procede de la siguiente manera para sumas de varios números, llamados "sumandos".
Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas empezando por la derecha con la cifra de las unidades, a la izquierda las decenas, la siguiente las centenas, la siguiente los millares etc.

resta

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella y el resultado se conoce como diferencia.
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.

La resta de los números 1419 y 751 se ordenarían de la siguiente forma:
Se aplica la tabla elemental en la columna de las unidades, teniendo en cuenta que si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo se suma a la cifra 10 unidades, colocando en la línea de acarreo sobre las centenas un 1, que se suma a la cifra del sustraendo de las centenas, procediendo de igual forma en la columna de las unidades de millar.
La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningún efecto.
La comprobación del resultado como "Resto o Diferencia" se hace sumando dicho resultado con el sustraendo. El resultado de dicha suma debe de ser el minuendo. Por ejemplo: En toda resta se cumple: Sustraendo + Diferencia = Minuendo. Así, por ejemplo la verdadera resta: 1007 - 428 = 579. Y al aplicar la fórmula anterior para averiguar si está bien o saber un término sin hallar: 428 + 579 =1007.
El método usado en América es el siguiente:
En el caso de que una cifra del minuendo sea menor que la del sustraendo, se decrementa en una unidad la cifra del minuendo que está inmediatamente a la izquierda de la que estamos tratando y se suma 10 a la cifra del minuendo tratada.
Por ejemplo, 1419 - 751 = 668. Empezaremos por las unidades, 9 - 1, que no presentan ningún problema quedando 9 - 1 = 8. En el caso de las decenas, tenemos 1 - 5 y como la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, restamos una unidad de las centenas del minuendo (4 - 1 = 3) y sumamos 10 a las decenas del minuendo (10 + 1 = 11), quedando 11 - 5 = 6. Para las centenas, tenemos 3 - 7 y como antes, restamos una unidad a las unidades de millar (1 - 1 = 0) y sumamos 10 a las centenas (10 + 3 = 13), quedando 13 - 7 = 6. Al haber hecho 0 las unidades de millar (0 - 0 = 0) da por finalizado el algoritmo dando como resultado 668.
En Europa se usa el mismo método que en América con la diferencia siguiente:
En el caso de que una cifra del minuendo sea menor que la del sustraendo, se incrementa en una unidad la cifra del sustraendo que está inmediatamente a la izquierda de la que estamos tratando y se suma 10 a la cifra del minuendo tratada.
Para el mismo ejemplo, 1419 - 751 = 668. Empezaremos por las unidades, 9 - 1, que no presentan ningún problema quedando 9 - 1 = 8. En el caso de las decenas, tenemos 1 - 5 y como la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, sumamos una unidad a las centenas del sustraendo (7 + 1 = 8) y sumamos 10 a las decenas del minuendo (10 + 1 = 11), quedando 11 - 5 = 6. Para las centenas, tenemos 4 - 8 y como antes, sumamos una unidad a las unidades de millar (0 + 1 = 1) y sumamos 10 a las centenas (10 + 4 = 14), quedando 14 - 8 = 6. En el caso de las unidades de millar, que no presentan problema, queda 1 - 1 = 0 finalizando el algoritmo dando como resultado 668.


MULTIPLICACION

La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda. Así, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.
En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.
Por ejemplo:
12 multiplicando x4 Multiplicador de factores 48 Producto

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:
m×n = m + m + m +...+ m
tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:
5×2 = 5 + 5 = 10
2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m×6 = m + m + m + m + m + m = 6mP

ropiedad conmutativa
Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x é y:
x·y = y·x

Propiedad asociativa
La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:
(x·y)z = x(y·z)
En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Propiedad distributiva
La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:
x·(y + z) = xy + xz
Asimismo:
(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Elemento neutro
También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:
1·x = x
es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

Cero
¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:
m·0 = m + m + m +...+ m
donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que
m·0 = 0
sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:
(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m
Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):
(-1)(-1) = -(-1) = 1

DIVISION

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.
Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

Algoritmo de división

Un algoritmo para dividir dos números, por ejemplo 8593 (dividendo) y 23 (divisor), es el siguiente:
Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha, contenido en una escuadra abierta hacia la derecha o galera.
Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide por la primera del divisor (2). En el caso de que la primera cifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.
Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor sea menor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).
Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo que se toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se resta de las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.
A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, se procede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas las cifras del dividendo.
Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo que consideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahora la cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92; 83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.
Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menor que el divisor.
El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de 14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.

División de monomios
Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y se restan los exponentes de la parte literal. Si la división de los coeficientes no es exacta, se suele representar como fracción.
División de un polinomio por un monomio
Se divide cada término del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales con sus propios signos.
División de polinomios
Regla para la división de dos polinomios:
Se ordenan los polinomios dados con respecto a una letra. Si falta algún término para ordenar el dividendo, se deja el espacio o se pone cero.
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
Se multiplica este cociente por cada término del divisor y este producto se resta del dividendo.
A la diferencia obtenida se le agrega el siguiente término del dividendo y se repite la operación hasta que se hayan dividido todos los términos del dividendo.
Existen otros algoritmos para dividir polinomios, como el de Horner, el de Ruffini o el teorema del resto. Algunos de estos métodos sólo son aplicables a ciertos tipos de polinomios.